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解释RSA算法的原理,要用到四个数学概念。 * 互质关系 * 欧拉函数 * 欧拉定理 * 模反元素 然后解释公钥和密钥的生成过程 ----- ======四个数学概念====== =====互质关系===== 如果两个正整数,除了1以外,没有其他公因子,我们就称这两个数是互质关系(coprime)。比如,15和32没有公因子,所以它们是互质关系。这说明,不是质数也可以构成互质关系。 关于互质关系,不难得到以下结论: - 任意两个质数构成互质关系,比如13和61。 - 一个数是质数,另一个数只要不是前者的倍数,两者就构成互质关系,比如3和10。 - 如果两个数之中,较大的那个数是质数,则两者构成互质关系,比如97和57。 - 1和任意一个自然数是都是互质关系,比如1和99。 - p是大于1的整数,则p和p-1构成互质关系,比如57和56。 - p是大于1的奇数,则p和p-2构成互质关系,比如17和15。 =====欧拉函数===== 请思考以下问题: >任意给定正整数n,请问在小于等于n的正整数之中,有多少个与n构成互质关系?(比如,在1到8之中,有多少个数与8构成互质关系?) 计算这个值的方法就叫做欧拉函数,以φ(n)表示。\\ 在1到8之中,与8形成互质关系的是1、3、5、7,所以 φ(n) = 4。 φ(n) 的计算方法并不复杂,但是为了得到最后那个公式,需要一步步讨论。\\ ====第一种情况==== 如果n=1,则 φ(1) = 1 。因为1与任何数(包括自身)都构成互质关系。\\ ====第二种情况==== 如果n是质数,则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数,都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。\\ ====第三种情况==== 如果n是质数的某一个次方,即 n = p^k (p为质数,k为大于等于1的整数),则\\ {{:wiki:rsachart0.png|}}\\ 比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。\\ 这是因为只有当一个数不包含质数p,才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个,即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p,把它们去除,剩下的就是与n互质的数。\\ 上面的式子还可以写成下面的形式:\\ {{:wiki:rsachart1.png|}}\\ 可以看出,上面的第二种情况是 k=1 时的特例。\\ ====第四种情况==== 如果n可以分解成两个互质的整数之积,\\ n = p1 × p2\\ 则\\ φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)\\ 即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如,φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。\\ 这一条的证明要用到"中国剩余定理",这里就不展开了,只简单说一下思路:如果a与p1互质(a<p1),b与p2互质(b<p2),c与p1p2互质(c<p1p2),则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能,b的值有φ(p2)种可能,则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能,而c的值有φ(p1p2)种可能,所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。\\ ====第五种情况==== 因为任意一个大于1的正整数,都可以写成一系列质数的积。\\ {{:wiki:rsachart2.png|}}\\ 根据第4条的结论,得到\\ {{:wiki:rsachart3.png|}}\\ 再根据第3条的结论,得到\\ {{:wiki:rsachart4.png|}}\\ 也就等于\\ {{:wiki:rsachart5.png|}}\\ 这就是欧拉函数的通用计算公式。比如,1323的欧拉函数,计算过程如下:\\ {{:wiki:rsachart6.png|}}\\ =====欧拉定理===== 欧拉函数的用处,在于欧拉定理。"欧拉定理"指的是:\\ 如果两个正整数a和n互质,则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立:\\ {{:wiki:rsachart7.png|}}\\ 也就是说,a的φ(n)次方被n除的余数为1。或者说,a的φ(n)次方减去1,可以被n整除。比如,3和7互质,而7的欧拉函数φ(7)等于6,所以3的6次方(729)减去1,可以被7整除(728/7=104)。\\ 欧拉定理的证明比较复杂,这里就省略了。我们只要记住它的结论就行了。\\ 欧拉定理可以大大简化某些运算。比如,7和10互质,根据欧拉定理,\\ {{:wiki:rsachart8.png|}}\\ 已知 φ(10) 等于4,所以马上得到7的4倍数次方的个位数肯定是1。\\ {{:wiki:rsachart9.png|}}\\ 因此,7的任意次方的个位数(例如7的222次方),心算就可以算出来。\\ 欧拉定理有一个特殊情况。\\ 假设正整数a与质数p互质,因为质数p的φ(p)等于p-1,则欧拉定理可以写成\\ {{:wiki:rsachart10.png|}}\\ 这就是著名的费马小定理。它是欧拉定理的特例。\\ 欧拉定理是RSA算法的核心。理解了这个定理,就可以理解RSA。 =====模反元素===== 还剩下最后一个概念:\\ 如果两个正整数a和n互质,那么一定可以找到整数b,使得 ab-1 被n整除,或者说ab被n除的余数是1。\\ {{:wiki:rsachart11.png|}}\\ 这时,b就叫做a的"模反元素"。\\ 比如,3和11互质,那么3的模反元素就是4,因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然,模反元素不止一个, 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {...,-18,-7,4,15,26,...},即如果b是a的模反元素,则 b+kn 都是a的模反元素。\\ 欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。\\ {{:wiki:rsachart12.png|}}\\ 可以看到,a的 φ(n)-1 次方,就是a的模反元素。\\ ==========================================\\ 好了,需要用到的数学工具,全部介绍完了。RSA算法涉及的数学知识,就是上面这些,下一次我就来介绍公钥和私钥到底是怎么生成的。 ======公钥和密钥生成过程====== =====举个例子===== 我们通过一个例子,来理解RSA算法。假设爱丽丝要与鲍勃进行加密通信,她该怎么生成公钥和私钥呢? {{:wiki:rsa3.png|}}\\ ====第一步,随机选择两个不相等的质数p和q。==== ~~NOTOC~~ 爱丽丝选择了61和53。(实际应用中,这两个质数越大,就越难破解。) ====第二步,计算p和q的乘积n。==== ~~NOTOC~~ 爱丽丝就把61和53相乘。 n = 61×53 = 3233 n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是110010100001,一共有12位,所以这个密钥就是12位。实际应用中,RSA密钥一般是1024位,重要场合则为2048位。 ====第三步,计算n的欧拉函数φ(n)。==== ~~NOTOC~~ 根据公式: φ(n) = (p-1)(q-1) 爱丽丝算出φ(3233)等于60×52,即3120。 ====第四步,随机选择一个整数e,条件是1< e < φ(n),且e与φ(n) 互质。==== ~~NOTOC~~ 爱丽丝就在1到3120之间,随机选择了17。(实际应用中,常常选择65537。) ====第五步,计算e对于φ(n)的模反元素d。==== ~~NOTOC~~ 所谓"模反元素"就是指有一个整数d,可以使得ed被φ(n)除的余数为1。 ed ≡ 1 (mod φ(n)) 这个式子等价于 ed - 1 = kφ(n) 于是,找到模反元素d,实质上就是对下面这个二元一次方程求解。 ex + φ(n)y = 1 已知 e=17, φ(n)=3120, 17x + 3120y = 1 这个方程可以用"扩展欧几里得算法"求解,此处省略具体过程。总之,爱丽丝算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15),即 d=2753。 至此所有计算完成。 ====第六步,将n和e封装成公钥,n和d封装成私钥。==== ~~NOTOC~~ 在爱丽丝的例子中,n=3233,e=17,d=2753,所以公钥就是 (3233,17),私钥就是(3233, 2753)。 实际应用中,公钥和私钥的数据都采用[[https://zh.wikipedia.org/zh-cn/ASN.1|ASN.1]]格式表达。 ======RSA算法的可靠性====== 回顾上面的密钥生成步骤,一共出现六个数字: p q n φ(n) e d 这六个数字之中,公钥用到了两个(n和e),其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d,因为n和d组成了私钥,一旦d泄漏,就等于私钥泄漏。 那么,有无可能在已知n和e的情况下,推导出d? 1 ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n),才能算出d。 2 φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q,才能算出φ(n)。 3 n=pq。只有将n因数分解,才能算出p和q。 结论:如果n可以被因数分解,d就可以算出,也就意味着私钥被破解。 可是,大整数的因数分解,是一件非常困难的事情。目前,除了暴力破解,还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道: "对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。 换言之,对一极大整数做因数分解愈困难,RSA算法愈可靠。 假如有人找到一种快速因数分解的算法,那么RSA的可靠性就会极度下降。 但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。 到2008年为止,世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。 只要密钥长度足够长,用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。" 举例来说,你可以对3233进行因数分解(61×53),但是你没法对下面这个整数进行因数分解。 12301866845301177551304949 58384962720772853569595334 79219732245215172640050726 36575187452021997864693899 56474942774063845925192557 32630345373154826850791702 61221429134616704292143116 02221240479274737794080665 351419597459856902143413 它等于这样两个质数的乘积: 33478071698956898786044169 84821269081770479498371376 85689124313889828837938780 02287614711652531743087737 814467999489 × 36746043666799590428244633 79962795263227915816434308 76426760322838157396665112 79233373417143396810270092 798736308917 事实上,这大概是人类已经分解的最大整数(232个十进制位,768个二进制位)。比它更大的因数分解,还没有被报道过,因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。 ======加密和解密====== 有了公钥和密钥,就能进行加密和解密了。 **(1)加密要用公钥 (n,e)** 假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m,他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意,m必须是整数(字符串可以取ascii值或unicode值),且m必须小于n。 所谓"加密",就是算出下式的c: me ≡ c (mod n) 爱丽丝的公钥是 (3233, 17),鲍勃的m假设是65,那么可以算出下面的等式: 6517 ≡ 2790 (mod 3233) 于是,c等于2790,鲍勃就把2790发给了爱丽丝。 **(2)解密要用私钥(n,d)** 爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后,就用自己的私钥(3233, 2753) 进行解密。可以证明,下面的等式一定成立: cd ≡ m (mod n) 也就是说,c的d次方除以n的余数为m。现在,c等于2790,私钥是(3233, 2753),那么,爱丽丝算出 27902753 ≡ 65 (mod 3233) 因此,爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。 至此,"加密--解密"的整个过程全部完成。 我们可以看到,如果不知道d,就没有办法从c求出m。而前面已经说过,要知道d就必须分解n,这是极难做到的,所以RSA算法保证了通信安全。 你可能会问,公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m,那么如果要加密大于n的整数,该怎么办?有两种解决方法:一种是把长信息分割成若干段短消息,每段分别加密;另一种是先选择一种"对称性加密算法"(比如DES),用这种算法的密钥加密信息,再用RSA公钥加密DES密钥。 ======私钥解密的证明====== 最后,我们来证明,为什么用私钥解密,一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子: cd ≡ m (mod n) 因为,根据加密规则 me ≡ c (mod n) 于是,c可以写成下面的形式: c = me - kn 将c代入要我们要证明的那个解密规则: (me - kn)d ≡ m (mod n) 它等同于求证 med ≡ m (mod n) 由于 ed ≡ 1 (mod φ(n)) 所以 ed = hφ(n)+1 将ed代入: mhφ(n)+1 ≡ m (mod n) 接下来,分成两种情况证明上面这个式子。 **(1)m与n互质。** 根据欧拉定理,此时 mφ(n) ≡ 1 (mod n) 得到 (mφ(n))h × m ≡ m (mod n) 原式得到证明。 **(2)m与n不是互质关系。** 此时,由于n等于质数p和q的乘积,所以m必然等于kp或kq。 以 m = kp为例,考虑到这时k与q必然互质,则根据欧拉定理,下面的式子成立: (kp)q-1 ≡ 1 (mod q) 进一步得到 [(kp)q-1]h(p-1) × kp ≡ kp (mod q) 即 (kp)ed ≡ kp (mod q) 将它改写成下面的等式 (kp)ed = tq + kp 这时t必然能被p整除,即 t=t'p (kp)ed = t'pq + kp 因为 m=kp,n=pq,所以 med ≡ m (mod n) 原式得到证明。 =====原文链接===== * 阮一峰,[[http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/06/rsa_algorithm_part_one.html|RSA算法原理]]
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· 最后更改: 2017/09/06 09:52 由
螃蟹
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